محور اعداد

 اعداد صحیح

این اعداد شامل صفر (0)، اعداد مثبت (مانند 1، 2، 100، 8000 و …) و اعداد منفی (مانند 1-، 2-، 20-، 500- و …) هستند.

بنابراین می‌توان گفت اعداد صحیح از سه دسته تشکیل شده‌اند:

• اعداد صحیح مثبت
• صفر
• اعداد صحیح منفی

یک عدد صحیح، سالم است! و هیچ خرده‌ای ندارد (بر خلاف اعداد اعشاری مانند 2/1).

مجموعه اعداد صحیح با حرف انگلیسی Z نشان داده می‌شود:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , …}

- در نوشتن اعداد مثبت می توان علامت (+) را حذف کرد یعنی اعداد بدون علامت همان اعداد مثبت هستند.مانند: 19=19+

- عدد صفر را نه مثبت در نظر می گیریم ونه منفی.

- در اعداد منفی هر چه از صفر دورتر می شویم مقدار آن کاهش می‌یابد .

*پس نتیجه می‌گیریم عدد (1-) بزرگترین عدد صحیح منفی است اما کوچکترین عدد صحیح منفی مشخص نیست.

قرینه یک عدد

به اعدادی که فاصله آن‌ها تا مبدأ مختصات (عدد صفر) برابر، اما در جهت مخالف یکدیگر باشند، دو عدد قرینه می‌گویند. به عبارت دیگر، قرینه عدد a برابر با (a -) است. برای فهم بهتر، فرض کنید بر روی مبدأ (عدد صفر)، یک آینه قرار دارد که تصویر هر عدد را نشان می‌دهد. هرچه جسم از آینه دورتر، فاصله تصویرش هم بیشتر!

نکته 1: قرینه عدد صفر، خود صفر است. (به آینه توجه کنید.)

نکته 2: با قرینه شدن یک عدد غیر صفر، علامت آن تغییر می‌کند.

فاصله یک عدد تا مبدأ مختصات (صفر)، ربطی به علامت عدد ندارد؛ بلکه مانند آینه‌ای که دیدیم هر عددی که بدون علامت، بزرگتر بود از مبدأ فاصله بیشتری دارد؛ بنابراین:

عدد (20+)، به اندازه 20 واحد و عدد (56-) به اندازه 56 واحد از مبدأ فاصله دارد. عدد صفر نیز دقیقاً روی مبدأ قرار دارد. پس عدد (56-) بیشترین فاصله را خواهد داشت.

محور اعداد صحیح:

محور خط راستی است که آن را به قسمت های مساوی تقسیم کرده و نقطه ای به نام مبداء روی آن در نظر می گیریم (منظور همان صفر است) سمت راست را با اعداد مثبت و سمت چپ را با اعداد منفی عددگذاری می نماییم.

مقایسه اعداد صحیح :

• اگر هر دو عدد مثبت باشند آنگاه عددی بزرگتر است که از صفر دورتر باشد.
• اگر هر دو عدد منفی باشند آنگاه عددی بزرگتر است که به صفر نزدیک تر باشد.
• اگر دو عدد با علامت های مختلف باشند آنگاه اعداد مثبت همواره از اعداد منفی بزرگترند.

انجام عملیات ریاضی روی اعداد صحیح

چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) در ریاضیات بسیار پرکاربرد هستند. اعداد صحیح را نیز می‌توان با هم جمع، از هم تفریق، در هم ضرب و یا بر هم تقسیم نمود. در ادامه، روش جمع و تفریق اعداد صحیح را مرور خواهیم کرد:

جمع اعداد صحیح :

• اگر دو عدد مثبت باشند حاصل جمع انها مانند جمع دو عدد طبیعی است
• در جمع دو عدد با علامت های مختلف حاصل جمع برابر است با تفاضل ان دوعدد با علامت عددی که مقدار آن (بدون علامت) بیش تر است.
• اگر دو عدد منفی باشند حاصل جمع انها مانند جمع دو عدد طبیعی است البته با علامت منفی.

تفریق اعداد صحیح:

در تفریق اعداد صحیح می توانیم ابتدا تفریق را به جمع تبدیل کنیم سپس حاصل جمع را بدست اوریم به این صورت که در هر تفریق عدد اول را با قرینه عدد دوم جمع کنیم.

نمایش جمع و تفریق اعداد صحیح روی محور اعداد

جمع و تفریق اعداد صحیح را می‌توان روی محور اعداد نمایش داد؛ بدین صورت که ابتدای پیکان نشان‌دهندۀ اولین عدد و انتهای پیکان نشان‌دهندۀ حاصل جمع یا تفریق است.

طول پیکان، مقدار جمع یا تفریق است که اگر به سمت راست محور باشد، علامت آن مثبت و اگر به سمت چپ محور باشد، علامت آن منفی است. همچنین اگر پیکان از یک عدد شروع شده و به خود آن عدد برگردد، به معنی جمع با عدد صفر است.

نحوه کار با شبیه ساز 

ژتون:

ژتون‌های مثبت از اعداد 1تا 5 هستند که داخل کیسه مثبت‌ها می‌توانید قرار دهید. ژتون‌های منفی که از 1- تا 5- هستند را داخل کیسه منفی به دلخواه قرار دهید. مشاهده می‌کنید که به ازای هر ژتونی که در کیسه قرار دهید بردار آن از نقطه مبدا(صفر) تا عدد مورد نظر رسم می‌شود. اگر که بیش از یک ژتون قرار دهید مجموع در بالای صفحه و همچنین به صورت بردار نمایش داده می‌شود.

ارزش خالص:

دو کیسه داریی‌ها(مثبت) و بدهی‌ها(منفی) داریم. هر کدام از اسکناس، تلویزیون، دوچرخه و انگشتر که مقدار وجه مشخص شده است را میتوانید داخل کیسه دارایی قرار دهید و مشاهده ‌می‌کنید که محور آن نمایش داده می‌شود، همچنین وام و هزینه خرید های خود را در کیسه بدهی‌ها میتوانید قرار دهید. مشاهده میکنید که مجموعاً ارزش خالص دارایی شما هم در بالای صفحه و هم در قلک آبی رنگ قابل مشاهده است.

محور اعداد:

محوری که بین اعداد1000 و 1000- است داده شده است. در پایین محور میتوانید ارزش خالص اولیه یا همان مبدا حرکت را از صفر به عدد دلخواه مضرب 100 تغییر دهید. در بالای محور میتوانید عددی (مضرب100) به آن اضافه یا کم کنید، که پاسخ یا مثبت است و یا منفی.

عمومی:

محور اعداد را می توانید بین اعداد 10تا10- ، 30تا 30- و 100تا 100- قرار دهید. از قسمت پایین صفحه می توانید انتخاب کنید که دومحور داشته باشید یا یک محور. با کلیک روی نقطه مبدا (آبی یا صورتی) می توانید شروع حرکت یا مبدا را تغییر دهید و عدد دلخواه خود را در بالا قرار دهید تا عملیات جمع اعداد صحیح با توجه به علامت آنها انجام گیرد و پاسخ هم روی محور قابل مشاهده است.

فعالیت:

1. حاصل  6-30 را به کمک محور نشان دهید.

2. قرینه اعداد (30-)، (34) و (0) را بدست آورید. قرینه کدام عدد از مبدأ مختصات فاصله بیشتری دارد؟