زوایای داخلی و خارجی چند ضلعی منتظم

چند ضلعی منتظم چند ضلعی است که تمام ضلع‌های آن باهم و تمام زاویه‌های آن با هم هم‌اندازه هستند. از شناخته شده‌ترین چندضلعی‌های منتظم می‌توان به مثلث متساوی الاضلاع و مربع اشاره کرد. در این شبیه ساز، به معرفی کامل انواع چند ضلعی منتظم و اجزای آن‌ها نظیر زاویه داخلی و زاویه خارجی می پردازیم.

چند ضلعی و انواع آن:

چند ضلعی، یکی از انواع شکل های هندسی است که از خط شکسته بسته تشکیل می‌شود. چندضلعی‌های محدب و مقعر، از انواع چندضلعی‌ها بر اساس اندازه زوایای داخلی هستند. از انواع چندضلعی‌ها بر اساس تعداد ضلع می‌توان سه‌ضلعی، چهارضلعی، پنج‌ضلعی، شش‌ضلعی و غیره اشاره کرد. علاوه بر این، تمام چندضلعی‌ها در یکی از دو گروه چندضلعی‌های منتظم و غیر منتظم قرار می‌گیرند.

مهمترین اجزای ضلعی ها:

از مهم‌ترین اجزای چندضلعی‌های منتظم می‌توان زاویه داخلی، زاویه خارجی، ارتفاع، شعاع، زاویه مرکزی و ضلع را نام برد.

زاویه داخلی:

به زاویه بین دو راس (زاویه محل برخورد دو ضلع مجاور)، زاویه داخلی می‌گویند. یک n ضلعی منتظم، n زاویه داخلی با اندازه‌های برابر دارد.

مجموع زوایای داخلی چند ضلعی منتظم برابر است با

$S=(n-2)\times 180^{\circ }$

S: مجموع زوایای داخلی چندضلعی منتظم

n: تعداد ضلع‌ها

محاسبه هر زاویه چند ضلعی منتظم:

زوایای داخلی چندضلعی‌های منتظم هم‌اندازه هستند. با توجه به این نکته، اندازه هر یک از زاویه‌های داخلی یک n ضلعی منتظم را می‌توان توسط فرمول زیر محاسبه کرد:  

$\alpha=\frac{(n-2)\times 180^{\circ }}{n}$

محاسبه مجموع زوایای خارجی چند ضلعی منتظم:

امتداد دادن هر ضلع چندضلعی منتظم، بین امتداد و ضلع مجاورش، زاویه‌ای به وجود می‌آید که به آن، زاویه خارجی گفته می‌شود. هر n ضلعی منتظم، n زاویه خارجی دارد. زوایای خارجی چندضلعی منتظم نیز مانند زوایای داخلی آن هم‌اندازه هستند.

رابطه بین زاویه داخلی و زاویه خارجی چند ضلعی منتظم:

مجموع هر زاویه داخلی چندضلعی منتظم با زاویه خارجی مجاور آن، ۱۸۰ درجه می‌شود. به عبارت دیگر، زوایای داخلی و خارجی مجاور، مکمل یکدیگر هستند.

۱۸۰° = زاویه خارجی + زاویه داخلی

مجموع زوایای خارجی چند ضلعی منتظم:

مجموع زوایای خارجی تمام چندضلعی‌های منتظم برابر با ۳۶۰ درجه است. به دلیل برابر بودن این زاویه‌ها با هم، فرمول اندازه زاویه خارجی چند ضلعی منتظم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\beta=\frac{ 360^{\circ }}{n}$

نحوه کار با شبیه ساز

پس از ورود ابتدا تعداد اضلاع چند ضلعی خود را مشخص کنید، کافی است با حرکت لغزنده به راست/چپ، تعداد اضلاع را افزایش/کاهش دهید.

یک گزینه "چند ضلعی منتظم" وجود دارد که اگر تیک آن فعال باشد، چند ضلعی شما به صورت منظم باقی مانده و با حرکت دادن هریک از راس ها فقط شکل می چرخد، اما اگر تیک آن غیرفعال باشد می توانید با حرکت هر راس، طول اضلاع و همچنین زوایا را تغییر داده و اشکال مختلفی بسازید.(به عنوان مثال متوازی الاضلاع ایجاد کنید.)

گزینه دوم "تقسیم به چند مثلث" است که با فعال کردن آن به صورت خودکار چند ضلعی شما به مثلث(سه‌ضلعی) تقسیم می شود.

گزینه سوم "نمایش اندازه های زاویه" می باشد که می توانید هریک زوایای داخلی و خارجی چند ضلعی را مشاهده کنید.

برای تمرین بهتر و اندازه گیری می توانید تیک "چند ضلعی منتظم" را غیرفعال کرده، شکل متفاوتی ایجاد کنید و با ابزارهای اندازه گیری زاویه و طول که در سمت راست پایین شبیه ساز وجود دارد، زاویه و طول اضلاع را بدست آورید.

آیا می توانید با زاویه و طول اضلاع، مساحت چند ضلعی را محاسبه کنید؟

فعالیت:

۱- اندازه هر یک از زوایای داخلی و خارجی یک بیست ضلعی منتظم را پیدا کنید.

۲- یک مکعب تانگرام را درنظر بگیرید، اندازه زوایای داخلی آن را محاسبه کنید.