جمع و تفریق رادیکال‌ها

همان طور که برای عبارت‌های جبری، جملات متشابه تعریف می‌کنیم، برای رادیکال‌ها نیز می‌توانیم جملات متشابه (یکسان) تعریف کنیم. دو رادیکال متشابه‌اند اگر عدد زیر دو رادیکال و فرجه دو رادیکال با هم برابر باشند. در صورتی که دو رادیکالِ متشابه (یکسان) داشته باشیم، می‌توانیم ضرایب آن دو را با هم جمع و یا از یکدیگر تفریق کنیم. مثلاً دو رادیکال $6\sqrt{5}$ و $7\sqrt{5}$ متشابه هستند.

زیرا در هر دو، عدد زیر رادیکال برابر است با 5

همچنین فرجه رادیکال در هر دو برابر با 2 است. بنابراین حاصل جمع ضرایب این دو رادیکال به صورت زیر خواهد شد:

$6\sqrt{5}+7\sqrt{5}=13\sqrt{5}$

توجه کنید، به هیچ عنوان عدد زیر دو رادیکال متشابه را جمع و تفریق نمی‌کنیم. جمع و تفریق تنها بر روی ضرایب دو رادیکال متشابه صورت می‌گیرد. یا مثلاً اگر بخواهیم عبارت $6\sqrt{5}$ را از $7\sqrt{5}$ کم کنیم، ضرایب دو رادیکال را به صورت زیر تفریق می‌کنیم:

$7\sqrt{5}+6\sqrt{5}=\sqrt{5}$

اما اگر دو عبارت $3\sqrt{2}$ و $5\sqrt{3}$ را داشته باشیم، دیگر نم یتوانیم آنها را با یکدیگر جمع و یا از یکدیگر کم کنیم. زیرا قسمت رادیکالی این دو عبارت متفاوت هستند.

ساده کردن عبارت های رادیکالی

برای ساده کردن عبارت‌های رادیکالی، ابتدا باید اعداد زیر رادیکال را ساده کنیم. مثلاً فرض کنید یک عدد زیر رادیکال داریم و فرجه‌ی رادیکال برابر با 2 است. در این صورت باید ببینیم که آیا می‌توان عدد داده شده را به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در عددی دیگر نوشت یا خیر. اگر می‌توانیم این کار را بکنیم، عدد را به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در عددی دیگر می‌نویسیم تا بتوانیم مربع کامل را از زیر رادیکال خارج کنیم. برای فرجه‌های دیگر نیز به تناسب همین کار را می‌کنیم. مثلاً برای فرجه سه (ریشه سوم)، باید به دنبال مکعب کامل باشیم. به طور کلی می‌توانیم عدد را تجزیه کنیم تا مربع کامل یا مکعب کامل (یا موارد دیگر) را پیدا کنیم.

برای مثال:

$\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}$

$=\sqrt{16}\times \sqrt{3}$

$=4\times \sqrt{3}$

تذکر: البته گاهی هم ممکن است با اعدادی در زیر رادیکال سر و کار داشته باشیم که قابل ساده شدن نباشند. مثلا $\sqrt{35}$ ساده نمی‌شود زیرا عدد 35 را نمی‌توان به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در عددی دیگر نوشت.

ضرب دو عبارت رادیکالی

از خاصیت پخشی استفاده می‌کنیم. یعنی پرانتز اول را در نظر گرفته و هر یک از عبارات داخل پرانتز اول را در تک تک عبارات داخل پرانتز دوم ضرب می‌کنیم، سپس اگر متشابه بودند با هم جمع یا تفریق می‌کنیم.

$(\sqrt{5}-2\sqrt{2})(\sqrt{2}+3\sqrt{5})$

$= \sqrt{5} \times \sqrt{2} + \sqrt{5} \times 3\sqrt{5} - 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{5}$

$=\sqrt{10}+3\sqrt{25}-2\sqrt{4}-6\sqrt{10}$

$=\sqrt{10}+3\times 5-2\times 2-6\sqrt{10}$

$=15-4 +\sqrt{10} -6\sqrt{10}$

$=11 -5\sqrt{10}$

$=-5\sqrt{10} + 11$

نحوه کار با شبیه‌ساز

در این شبیه‌ساز مثال‌های متعددی از ساده کردن، جمع، تفریق و ضرب عبارت‌های رادیکالی با ریشه (فرجه) 2 آورده شده است. برای حل این عبارات، از قسمت پایین گزینه مناسبی را که فکر می‌کنید صحیح است به روی صفحه بکشید. با انتخاب درست مرحله‌ی بعد نشان داده می‌شود. اگر عبارات ساده‌تر نمی‌شود و قابل حل نیست گزینه "عبارت ساده شده است" را انتخاب کنید. همچنین برای حل مثالی دیگر روی جدید کلیک کنید.

تمرین:

عبارات رادیکالی زیر را ساده کنید.

الف) $8\sqrt{60}+2\sqrt{15}$

ب) $(3\sqrt{2}-7)\sqrt{10}$

پ) $(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})$