دنباله حسابی و هندسی

دنباله:

هر تعداد از اعداد که پشت سر هم نوشته شده باشند را یک دنباله از اعداد می‌نامند.

به هر عدد که در یک دنباله قرار گرفته است یک جمله از آن دنباله گفته می‌شود. جمله $n$ام دنباله را که $n$ یک عدد طبیعی دلخواه است، جمله عمومی یک دنباله می‌نامند و آن را با $a_{n}$ نمایش می‌دهند.

در هر دنباله جمله اول را با $a_{1}$ و جمله دوم را با $a_{2}$ و به همین ترتیب جمله $n$ام را با $a_{n}$ نشان می‌دهند.

دنباله تابعی است که دامنه آن اعداد طبیعی و برد آن اعداد حقیقی است. در برخی از دنباله ها الگویی وجود دارد که از روی آن الگو می‌توان اعداد دنباله مورد نظر را بدست آورد.

دنباله حسابی

اگر در یک دنباله اختلاف هر دو جمله متوالی مقدار ثابت باشد، به آن دنباله، دنباله حسابی می‌گویند. به عبارت دیگر یک دنباله حسابی دنباله‌ای است که هر جمله آن، از افزودن مقدار ثابت به جمله قبلی بدست می‌آید. به این مقدار ثابت قدر نسبت می‌گوییم و آن را با $d$ نشان می‌دهیم. در دنباله حسابی قدر نسبت از تفاضل هر جمله از جمله قبلی بدست می‌آید.

$d=a_{n}-a_{n-1}$

برای مثال ...و15و11و7و3 یک دنباله حسابی است که قدرنسبت آن 4 است.

جمله عمومی برای یک دنباله حسابی

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

است، که در آن $a_{n}$، $n$امین جمله، $a_{1}$ جمله اول و $d$ قدرنسبت است.

در دنباله حسابی اگر $d$ مثبت باشد، جملات دنباله افزایشی است و اگر $d$ منفی باشد جملات دنباله کاهشی است.

نکته: برای مشخص کردن هر دنباله باید جمله اول و قدر نسبت را داشته باشیم.

دنباله هندسی

دنباله‌ای است که هر جمله آن برابر حاصلضرب جمله قبل در یک عدد ثابت است. این عدد ثابت را قدر نسبت یا نسبت مشترک می‌نامند و با نماد $q$ یا $r$ نمایش می‌دهند.

قدرنسبت دنباله هندسی از تقسیم هر جمله بر جمله قبلی خود بدست می‌آید:

$r=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

جمله عمومی برای یک دنباله هندسی

$a_{n}=a_{1}.r^{n-1}$

که در آن $a_{n}$، $n$امین جمله، $a_{1}$ جمله اول و $r$ قدرنسبت است.

برای مثال ...و27و9و3و1 یک دنباله هندسی با نسبت مشترک 3 است.

در دنباله هندسی اگر $r$ مثبت باشد، جملات دنباله افزایش می‌یابد و دنباله صعودی است و اگر $r$ منفی باشد جملات دنباله کاهش می‌یابد و دنباله نزولی است.

نحوه کار با شبیه ساز

در این شبیه ساز دو دنباله حسابی و هندسی در اختیار داریم. گزینه دنباله حسابی را در بالای صفحه انتخاب نمایید. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی نمایش داده شده است. جمله اول، قدر نسبت و شماره جمله را می‌توانید با حرکت دادن نوار لغزنده انتخاب نمایید. اگر روی گزینه نمایش محاسبات کلیک کنید نحوه بدست آمدن این جمله برای شما نشان داده می‌شود. با تغییر جمله اول و قدر نسبت مشاهده می‌کنید که نقاط نمودار تغییر می‌یابند. روی گزینه جدول در سمت راست کلیک کنید از جمله اول تا شماره جمله ای که وارد کرده اید را به شما نشان می‌دهد و می‌توانید از آن خروجی excel نیز بگیرید. برای دنباله هندسی نیز روند کار به همین ترتیب می‌باشد.

فعالیت

یک دنباله با ...و1و5- شروع می‌شود. به سوالات زیر پاسخ دهید:

الف) اگر این دنباله حسابی باشد، 4جمله اول و جمله عمومی آن را بنویسید.

ب) اگر این دنباله هندسی باشد، 4جمله ی اول و جمله عمومی آن را بنویسید.